درس پنجم- مدل های اقتصادی

مدل سازی علمی به مجموعه فرآیندهای مربوط به تنظیم، برگزینی و اعتبارسنجی مدل های مورد نیاز جهت نمایش اشیاء و پدیده ها در علوم مختلف اطلاق می شود.

با آنکه به مرور روش ها، تکنیک ها، و نظریه های مختلفی برای مدل سازی در انواع زمینه های تخصصی علوم گوناگون به وجود آمده است، نظریه های کلی تر پیرامون مدل سازی های علمی، در قلمرو فلسفه علوم، نظریه سیستم ها و نمایش دانش قرار می گیرتد. اندیشیدن نظام مند یعنی اندیشیدن بر مبنای مدل. مدل ها به ما کمک می کنند مسائل را بهتر طبقه بندی کرده و شانس یافتن پاسخ های صحیح را بالا می برد. برای مثال دو نمونه از مدل های اقتصادی را بررسی می کنیم.

 

دیاگرام جریان دورانی (Circular-Flow Diagram)
اقتصاد از میلیون ها بازیگر تشکیل شده است که در حال داد و ستد با یکدیگر هستند. چنین سیستمی بسیار پیچیده و غیرقابل درک خواهد بود. مدل ها به ما کمک می کنند که با ساده سازی کل سیستم به درک بهتری از تمامیت سیستم دست یابیم. شکل یک که دیاگرام جریان دورانی نامیده می شود این کار را  می کند.

دیاگرام جریان دورانی در واقع یک مدل مصور از اقتصاد است. جریان پول بازارهای ما بین خانوار و شرکت ها را نشان می دهد. در این مدل ما شاهد حضور دو نیروی تصمیم گیر اقتصادی هستیم. خانوارها و شرکت ها. شرکت ها با استفاده از منابعی همچون سرمایه (ساختمان و ماشین)، نیروی کار و زمین به تولید کالا و خدمات می پرازند. این منابع را عوامل تولید (Factors of Production) می نامند. خانوار صاحب عوامل تولید است و تمامی کالاها و خدماتی که شرکت ها تولید می کنند را مصرف می کند.

خانوارها و شرکت ها در دو نوع کلی از بازارها با یکدیگر مبادله می کنند. بازار کالا و خدمات (Markets for Good and Service)، بازاری است که خانوار خریدار است و شرکت فروشنده. بازار عوامل تولید (Markets for Factors of Production) بازاری است که در آن خانوار فروشنده است و شرکت خریدار. در این بازار، خانوار منابعی که شرکت برای تولید کالا و خدمات نیاز دارد را عرضه می کند.

حلقه داخلی که با رنگ نارنجی نمایش داده شده است، جریان منابع ورودی و تولید خروجی را نشان می دهد. خانوار عوامل تولید را می فروشد و شرکت از این عوامل تولید استفاده می کند تا کالا، خدمات و تولید کند. کالا و خدمات تولید شده توسط شرکت به خانوار فروخته شده و مصرف می شود. حلقه خارجی که با رنگ سبز نشان داده شده است، جریان پول را نشان می دهد. خانوار پول خرج می کند تا کالا و خدمات را از شرکت بخرد. بخشی از آنچه توسط شرکت فروخته شده، صرف خرید عوامل تولید می شود و بخش باقیمانده نیز سود (Profit) شرکت است. شرکا صاحبانی دارد که خود در نقش خانوار نیز ظاهر می شوند، بنابراین ما شاهد جریان پول به صورت خرج کرد از سمت خانوار به سوی شرکت ها و شاهد جریان درآمد به صورت دستمزد، اجاره و سود از جانب شرکت به خانوار هستیم.

 

مرز ممکن تولید (The Production Possibilities Frontier) 
یکی از ساده ترین مدل های ریاضی در اقتصاد، مدل مرز ممکن تولید است. اقتصادی را در نظر بگیرد که فقط دو نوع کالا تولید می کند: تلویزیون و دوچرخه. به عبارت دیگر تمام منابع تولید در اقتصاد فرض شده برای تولید این دو کالا صرف می شوند. مرز ممکن تولید نموداری است که ترکیب های مختلف و ممکن تولید را که شرکت ها در یک اقتصاد ممکن است با استفاده از عوامل تولید موجود و تکنولوژی های موجود تولید کننده نشان می دهد.

شکل زیر مرز ممکن تولید در اقتصادی که فقط تلویزیون و دوچرخه را تولید می کند نشان می دهد. اگر تمامی منابع اقتصادی صرف تولید دوچرخه شود، در این اقتصاد سه هزار دوچرخه تولید خواهد شد. اگر تمامی عوامل تولید صرف تولید تلویزیون شود، در این اقتصاد هزار تلویزیون تولید خواهد شد. وقتی ۲۲۰۰ دوچرخه تولید شود، ۶۰۰ تلویزیون تولید می شود. این نقاط همه بر روی مرز ممکن تولید قرار دارند.

تلویزیون	دوچرخه
۰	۳۰۰۰
۱۰۰	۲۹۰۰
۶۰۰	۲۲۰۰
۷۰۰	۲۰۰۰
۹۹۰	۳۰۰
۱۰۰۰	۰

نقطه A که پایین خط مرزهای ممکن تولید قرار دارد، یک ترکیب ممکن است اما بهینه نیست. یعنی در این شرایط تمامی عوامل موجود استفاده نمی شوند. در نقطه A ما شاهد تولید ۱۰۰۰ دوچرخه و ۴۰۰ تلویزیون هستیم. اگر تولید تلویزیون را بر روی ۴۰۰ تلویزیون ثابت نگاه داریم، تولید بهینه که بر روی خط بیرونی قرار دارد ۲۴۵۰ دوچرخه خواهد بود. اگر تولید دوچرخه را بر روی ۱۰۰ دوچرخه ثابت نگه داریم، تولید بهینه وقتی رخ می دهد که ۹۷۰ تلویزیون تولید شود.

دیدیم که نقطه A اگر چه ترکیبی ممکن را ارائه می دهد اما بهینه نیست. در حالتی می گوییم در نقطه تولید بهینه قرار داریم که اقتصاد تمام منابع ممکن و در دسترسش را برای تولید استفاده کند. نقاط بر روی مرز، نقاط بهینه هستند. نقاط درون مرز اما بهینه نیستند به این معنی که از تمام امکانات موجود برای تولید استفاده نمی کنند و برخی منابع را بی استفاده باقی می گذارند.

از آنجا که منابع محدودند، تمامی ترکیب ها امکان پذیر نیستند. به عبارتی منابع موجود به هر شکلی تخصیص داده شوند، با تکنولوژی موجود دستیابی به ترکیبی که نقطه B ارائه می کند امکان پذیر نیست. با منابع و تکنولوژی موجود، نقاط خارج از محدوده قابل دستیابی نیستند، نقاط داخل محدوده قابل دستیابی هستند و نقاط بر روی مرز ترکیبات بهینه هستند.

نگاهی به نمودار به ما نشان می دهد که ما پیوسته در معرض مبادله و انتخاب قرار داریم. زمانی که ما بر روی خط مرزی نقاط بهینه قرار داشته باشیم تولید یک واحد بیشتر از یک کالا به معنای تولید چند واحد کمتر از کالای دیگر است.

تولید یک واحد تلویزیون بیشتر، به معنای تولید چند واحد دوچرخه کمتر است. فرض کنید در وضعیتی قرار داریم که ۲۲۰۰ دوچرخه و ۶۰۰ تلویزیون تولید می کنیم. نام این ترکیب را نقطه C می گذاریم. برای تولید ۱۰۰ تلویزیون بیشتر باید ۲۰۰ دوچرخه کمتر تولید شود. یعنی در این وضعیت ما ۲۰۰۰ دوچرخه و ۷۰۰ تلویزیون تولید می کنیم. این وضعیت را نقطه D می نامیم. به عبارتی در نقطه C بهای تولید ۱۰۰ تلویزیون ۲۰۰ دوچرخه یا بهای تولید یک تلویزیون، دو دوچرخه خواهد بود.

نکته: دقت کنید که نمودار بالا به صورت منحنی است، نه خطی. به همین دلیل رابطه میان تولید تلویزیون و دوچرخه یک رابطه ثابت نیست و همواره در حال تغییر است.

به زبان دیگر هزینه فرصت یک تلویزیون، دو دوچرخه است. دقت داشته باشید که هزینه تولید یک کالا در هر نقطه برابر است با شیب آن نقطه. شیب در هر نقطه عبارت است از مشتق اول معادله خط در آن نقطه. چنان که مشاهده می کنید، نمودار مرز ممکن تولید نه یک خط مستقیم که یک منحنی است. بنابراین شیب خط در نقاط مختلف متفاوت است و تغییر می کند. اگر خط مستقیم می بود، شیب خط در نقاط مختلف ثابت و در نتیجه هزینه فرصت کالا همواره یکی می بود.

---

یادآوری: شیب خط و مشتق
در ریاضیات (اِنگارِش)، شیب خط، میزان انحنا یا نرخ انحنای یک خط را مشخص می‏ کند. اگر دو نقطه از یک خط را داشته باشیم، (x1,y1) و (x2,y2)، می‏ توان شیب یک خط را به این شکل حساب کرد:

M=(y1-y2)/(x2-x1)

در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:

که در این فرمول  نشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع، بیشتر از فرمول زیر استفاده می کنند:

معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x استفاده می کنند:

یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگر در آن نقطه مشتق موجود باشد و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد. اگر تابع در نقطه ای مانند C پیوسته نباشد، آنگاه در C نمی تواند مشتق پذیر باشد. البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمی کند.

مشتق یک تابع مشتق پذیر می تواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند. مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف می شوند.

از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه، شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است. البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم (برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده می کنیم). برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک می کنیم.

از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید. پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل می شود:

در این فرمول h به عنوان کوچک ترین تغییر متغیر x تعریف می شود و می تواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط (x, f(x)) و (x+h, f(x+h)) حاصل می شود. واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد. همچنین در این روش مشتق x، حاصل حد زیر است

 

چند مثال عددی
مثال ۱- معادله خط زیر را در نظر بگیرید:

y = 2x + 5

شیب خط چقدر است؟

پاسخ: در اینجا شیب خط برابر است با ۲.

 

مثال ۲- مشتق تابع زیر را بدست آورید؟

y = 5x + 3

پاسخ: مشتق این تابع برابر است با ۵.

 

مثال: مشتق تابع زیر را بدست آورید؟

y = x^2 + 2x

پاسخ: مشتق این تابع برابر است با 2x+2